Institut für Mathematik


Reelle Algebra II (WiSe 2019/20)

Wir setzen das in der Vorlesung "Algebra III" begonnene Studium von semi-algebraischen Mengen fort. Ein wichtiges Ziel wird der Endlichkeitssatz sein, welcher besagt, dass eine offene semi-algebraische Menge stets eine endliche Vereinigung von basisch offenen semi-algebraischen Mengen ist. Das Werkzeug der Wahl wird das sogenannte reelle Spektrum sein, ein topologischer Raum, den man einem kommutativen Ring zuweist und der dessen "reelle" Eigenschaften erfasst. Eine weitere Anwendung des reellen Spektrums werden die Positivstellensätze von Krivine sein, Verallgemeinerungen von Artins Lösung von Hilberts siebzehntem Problem auf Polynome, welche auf gewissen semialgebraischen Mengen nichtnegative Werte annehmen und die in der polynomiellen Optimierung via semidefiniter Optimierung eine wichtige Rolle spielen.

Voraussetzung: Vorlesungen ''Algebra I & III''

Ort: MA 316, Zeit: Dienstag, 10-12


Real Algebra II (Winter term 2019/20)

We continue the study of semi-algebraic sets that has begun in the lecture "Algebra III". An important goal will be the finiteness theorem, which states that an open semi-algebraic set is always a finite union of basic open semi-algebraic sets. The main tool will be the so-called real spectrum, a topological space which is assigned to a commutative ring and which captures its "real" properties. Another application of the real spectrum will be the Positivstellensatz of Krivine, generalizing Artin's solution of Hilbert's seventeenth problem to polynomials which take non-negative values on certain semi-algebraic sets. This plays an important role in polynomial optimization via semidefinite programming. If required, the course will be taught in English.

Prerequisite: An introductory lecture to real algebra.

Room: MA 316, Time: Tuesday, 10-12

Literature:
Bochnak, Coste, Roy: Real algebraic geometry
Knebusch, Scheiderer: Einführung in die reelle Algebra
Prestel, Delzell: Positive polynomials
Marshall: Positive polynomials and sums of squares


Exercises: Will be posed and discussed during the lectures.