Funktionalanalysis I
An diesem Skript werden noch vereinzelte Korrekturen vorgenommen.
Die deutsche Übersetzung umfasst bisher nur die ersten drei Kapitel.
Hinweis: Der Satz vom abgeschlossenen Bild (Theorem 5.8) wurde der Übung entnommen und ist somit (sofern vom Dozenten nicht anders angekündigt oder in die Vorlesung aufgenommen) nicht prüfungsrelevant.
Zur Konstruktion der
Die Räume
Es wird zunächst der Fall
Die Beweise und Definitionen verwenden hierbei funktionalanalytische Hilfsmittel wie Quotientenräume.
Etwas Theorie zu abgeschlossenen Operatoren: ClosedOperators.pdf (162 KB)
Aus einer Übung. Enthält die Definition eines abgeschlossenen Operators, zwei Sätze und ein Beispiel.
Etwas Theorie zu Fredholm-Operatoren: FredholmOperators.pdf (219 KB)
Aus einer Übung. Enthält die Definition eines Fredholm-Operators, ein Lemma und den Satz von Atkinson.
Übersicht der erarbeiteten Ergebnisse in der Spektraltheorie: SpectralTheory.pdf (161 KB)
Die in der Vorlesung bewiesenen Eigenschaften der Spektral- und Eigenwerte sind hier übersichtlich zusammengefasst, werden jedoch nicht bewiesen.
Die Eigenschaften sind unterteilt in: beschränkte Operatoren auf normierten Räumen, beschränkte Operatoren auf Banach-Räumen, kompakte Operatoren auf normierten Räumen, selbstadjungierte Operatoren auf Hilbert-Räumen, kompakte und selbstadjungierte Operatoren auf Hilbert-Räumen.
Zusatzmaterial zu Dunford- und Pettis-Integralen: DunfordPettisInt.pdf (193 KB)
Zusammenstellung der wichtigsten Sätze: FA1Theorems.pdf (209 KB)
Die Nummerierung der unbenannten Sätze folgt der des obigen Skriptes.
Hinweis: Diese Zusammenstellung enthält nur die meiner Ansicht nach wichtigsten Sätze. Die Datei umfasst also nicht den gesamten Prüfungsstoff, auch muss es sich hierbei nicht um die nach Ansicht des jeweiligen Dozenten wichtigsten Sätze handeln.
Literatur
Begleitend zur Vorlesung
- E. Kreyszig, Introductory Functional Analysis with Applications.
Setzt keine nennenswerten Vorkenntnisse voraus (nur Grundlagen aus Analysis und Linearer Algebra), insbesondere nicht in Maßtheorie und Topologie; auch die metrischen Räume werden eingeführt, ohne dass man ihnen vorher bereits begegnet sein sollte. - D. Werner, Funktionalanalysis.
Besonders dicht an dieser Vorlesung, eines der deutschen Standardwerke zur Funktionalanalysis. Teilweise jedoch etwas langatmig.
Ergänzend zur Vorlesung
- J. B. Conway, A Course in Functional Analysis.
Hat eine andere Reihenfolge der Themen und beinhaltet ein Kapitel zu lokalkonvexen Räumen, welches jedoch ohne größere Probleme übersprungen werden kann. Dafür findet sich die Spektraltheorie ausschließlich in einer allgemeineren Form. - H. Heuser, Funktionalanalysis.
Hat in der ersten Hälfte weitgehende Überschneidungen mit der Vorlesung. - R. Megginson, An Introduction to Banach Space Theory.
Eine besondere Empfehlung für die Themen bis zur schwachen Topologie. Diese wird hier auf Vektorraum-Topologien aufgebaut; zu Hilbert-Räumen und Operatoren findet sich hier (dem Titel gemäß) weniger.
Für Interessierte
- H. W. Alt, Lineare Funktionalanalysis.
Noch recht nahe an der Vorlesung. Besonderes Augenmerk auf Funktionenräumen. - G. Bachman, L. Narici, Functional Analysis. Setzt wenige Vorkenntnisse voraus und andere Schwerpunkte als in der Vorlesung.
Weiterführendes
- H. Brezis, Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations.
Die ersten Kapitel passen zur Vorlesung; der Rest des Buches führt in die Theorie der Differentialgleichungen. - J. B. Conway, A Course in Operator Theory.
Behandelt natürlich Operatortheorie. Idealerweise sollten grundlegende Kenntnisse über Banach-Algebren vorhanden sein. - J. Diestel, Sequences and Series in Banach Spaces.
Ein großartig geschriebenes Buch zu faszinierenden Themen der Banachraum-Theorie. - P. D. Lax, Functional Analysis.
Weist anfangs noch große Ähnlichkeiten mit der Vorlesung auf, führt aber schnell zu diversen vertiefenden Themen. - W. Rudin, Functional Analysis.
Beginnt direkt mit topologischen Vektorräumen. Als Einstieg kaum geeignet, als zweites Buch oder zur Vertiefung nach der Vorlesung jedoch sehr zu empfehlen.