Banachraum-Theorie
Achtung: Diese Veranstaltung kann nicht ins Studium eingebracht werden, sondern richtet sich nur an Interessierte. (Daher wird sie auch nicht sichtbar im öffentlichen Vorlesungsverzeichnis erscheinen)
Informationsblatt (pdf, 140 KB) (Stand: 07.07.2013, teils veraltet)
Termine:
- Mi, 10-12, MA 642
- Fr, 12-14, MA 142
Aktuelles:
- (12.02.2014, 23:39) Das Skript ist nun vollständig.
- (17.01.2014, 23:59) Das Skript ist aktualisiert.
- (11.01.2014, 13:47) Das Skript ist aktualisiert. Kapitel 6 ist nun vollständig.
- (15.12.2013, 13:09) Das Skript ist aktualisiert.
- (07.12.2013, 15:12) Das Skript ist aktualisiert. Kapitel 5 ist nun vollständig.
- (29.11.2013, 21:03) Das Skript ist aktualisiert. Kapitel 4 ist nun vollständig.
- (15.11.2013, 17:16) Das Skript ist aktualisiert.
- (08.11.2013, 17:15) Das Skript ist aktualisiert. Kapitel 2 ist nun vollständig.
- (01.11.2013, 18:09) Das Skript ist aktualisiert.
- (30.10.2013, 20:27) Kapitel 1 des Skripts ist nun vollständig.
Übungsaufgaben
Das Skript wird einige Übungsaufgaben enthalten, die nach Belieben bearbeitet und mir gerne zur Korrektur abgegeben werden können. Die angegebenen Punktzahlen dienen dabei zur Kennzeichnung des Schwierigkeitsgrads der Aufgabe und ggf. als Kurzbewertung der Abgaben.Themen
Es sind bisher die folgenden Themen vorgesehen:- Einführung und Allgemeines
Neben einer kurzen Einleitung sind hier einige Aussagen zu finden, die als Vorbereitung für die Lektüre in anderen Themenrichtungen dienen kann. Für diese Veranstaltung ist dieses Kapitel jedoch (abgesehen von einer kurzen Festlegung der Notation) vollkommen irrelevant. - Basisbegriffe und die Sätze von Rosenthal und Josefson-Nissenzweig
Wir beschäftigen uns mit dem Begriff einer Schauder-Basis und mit Basisfolgen. Nach einem wichtigen Kriterium zum Erkennen von Basisfolgen führen wir den Begriff der Äquivalenz zweier Basisfolgen ein. Darauf aufbauend betrachten wir den Satz von Rosenthal über die Existenz schwacher Cauchy-Teilfolgen beschränkter Folgen in Banach-Räumen und den Satz von Josefson-Nissenzweig, welcher besagt, dass im Dualraum eines jeden Banach-Raums eine Folge auf der Einheitssphäre zu finden ist, welche schwach* gegen Null konvergiert. - Metrisierbarkeit schwacher Topologien und der Satz von Banach-Mazur
Dieser besagt, dass jeder separable Banach-Raum isometrisch zu einem Unterraum vonist. Im Zuge der Untersuchung der Metrisierbarkeit schwacher Topologien führen wir außerdem den Begriff eines Netzes ein, mit dem (anstelle von Folgen) auch nichtmetrisierbare Topologien beschrieben werden können.
- Komplementierte Unterräume, Isomorphie, Folgenräume
Wir lernen einige interessante Dinge über die klassischen Folgenräume - etwa, dass jeder separable Banach-Raum isometrisch zu einem Quotienten vonist. Auch erfahren wir, wieso die
-Räume paarweise nicht isomorph sind und weshalb
kein Dualraum ist.
- Die Sätze von Goldstine, Kakutani und Eberlein-Šmulian
Wir beweisen den Satz von Eberlein-Šmulian, d. h. die Äquivalenz von Kompaktheit und Folgenkompaktheit in der schwachen Topologie. Dazu verwenden wir erstmals eine Formulierung des Satzes von Hahn-Banach als Trennungssatz. - James-Ränder und die Sätze von Rainwater-Simons und James
Der Satz von Rainwater-Simons liefert eine Charakterisierung schwacher Konvergenz, während der Satz von James eine überaus wichtige Charakterisierung von Reflexivität liefert und einen der bedeutsamsten Sätze dieser Veranstaltung darstellen wird. Nebenbei zeigen wir den Satz von Mazur, welcher besagt, dass Abgeschlossenheit und schwache Abgeschlossenheit für konvexe Mengen äquivalent sind. - Der Satz von Bishop-Phelps, Glattheit und Konvexität
Wir definieren verschiedene Begriffe von Glattheit und Konvexität von Banach-Räumen und untersuchen deren Zusammenspiel mit der Reflexivität. - Tensorprodukte und Reflexivität von
Wir führen Tensorprodukte von Banach-Räumen ein und verwenden diese, um eine Aussage darüber zu treffen, wann der Raum stetiger linearer Operatoren zwischen zwei Banach-Räumen reflexiv ist. Der Beweis dieser Aussage vereint viele der zuvor präsentierten Theorien und bildet ein besonderes Schmuckstück der Veranstaltung. - Integration und der Satz von Orlicz-Pettis
Wir führen die Begriffe des Pettis- und des Bochner-Integrals für Funktionen von einem Maßraum in einen Banach-Raum ein. Nach einer näheren Untersuchung dieser Integrationsbegriffe nutzen wir das Bochner-Integral, um den Satz von Orlicz-Pettis zu beweisen: Ist jede Teilreihe einer Reihe in einem Banach-Raum schwach konvergent, so ist auch jede Teilreihe stark konvergent. - Spezielle Räume
Wir geben mit dem James-Raum ein Beispiel für einen nichtreflexiven Raum, welcher dennoch isometrisch zu seinem Dualraum ist. Ggf. betrachten wir auch den James-Baum-Raum und den Tsirelson-Raum.
Literatur und Materialien
Skript: BRT.pdf (pdf, 874 KB)Das Skript wird im Laufe des Semesters stückchenweise veröffentlicht bzw. sichtbar gemacht. Kapitel 0 hat wenig mit dem Rest der Veranstaltung zu tun und kann bis auf den eingerahmten Abschnitt ignoriert werden.
Eine ausführliche Literaturliste ist im Skript angegeben. Die wichtigsten Bücher sind dabei die folgenden:
- F. Albiac, N. J. Kalton, Topics in Banach Space Theory, Springer-Verlag (2006)
Ein Standardwerk, an dem sich die Kapitel 1, 2 und 3 dieser Veranstaltung teilweise orientieren. - P. G. Casazza, T. J. Shura, Tsirelson's Space, Springer-Verlag (1989)
Vertiefende Lektüre zum Kapitel 9 über den Tsirelson-Raum. - J. Diestel, Geometry of Banach Spaces - Selected Topics, Springer-Verlag (1975)
Dieses Buch bildet die Grundlage zum Kapitel 6 über den Satz von Bishop-Phelps und Konvexitäts- und Glattheitsbegriffe. - J. Diestel, Sequences and Series in Banach Spaces, Springer-Verlag (1984)
Ein sehr zu empfehlender, angenehm geschriebener Klassiker, ideal zum Durchlesen. Leider fehlen ein Stichwortverzeichnis und Seitenangaben im Inhaltsverzeichnis, weshalb sich dieses Buch nicht zum Nachschlagen eignet. - J. Diestel, J. J. Uhl, Vector Measures, American Mathematical Society (1977)
Ein Standardwerk zu den Themen des Kapitels 8 zu Bochner-Integralen. Im Gegensatz zu den oben genannten Büchern von Diestel findet sich hier ein Stichwortverzeichnis; dafür lässt sich dieses Buch nicht so angenehm lesen (was keineswegs heißen soll, dass es schlecht geschrieben wäre). - M. Fabian et al., Banach Space Theory - The Basis for Linear and Nonlinear Analysis, Springer-Verlag (2011)
Ein sehr umfangreiches Buch, welches nahezu jede Aussage mit einer Quellenangabe versieht und als Grundlage zum Kapitel 5 über James-Ränder und die Sätze von James und Rainwater-Simons dient. Ideal zum Nachschlagen. - H. Fetter, B. Gamboa de Buen, The James Forest, Cambridge University Press (1997)
Vertiefende Lektüre zum Kapitel 9 über den James-Raum und den James-Baum-Raum. - J. Lindenstrauss, L. Tzafriri, Classical Banach Spaces, Springer-Verlag (1996)
Ein weiteres Standardwerk. - R. Megginson, An Introduction to Banach Space Theory, Springer-Verlag (1998)
Ein umfangreiches und schön geschriebenes Buch, welches ebenfalls fast den Status eines Klassikers erreicht hat.